Mise en équation de l'équateur penché et vérifications des c

Mise en équation de l'équateur penché et vérifications des c

Message par Amarillo Salvaje » 06 Janvier 2016, 06:18

Mise en équation de l'équateur penché et vérifications des coordonnées des sites

Didacticiel :

Outils necéssaires :
. Google earth
. Microsoft EXCEL
. Eventuellement on peut utiliser un site en ligne pour tracer les courbes (genre "MAFA traceur de courbes")


1) Mise en équation :

1.1 L'équateur penché représente une sinusoïde sur une carte en 2 dimensions :


Image

1.2 J'adapte l'équation sur un repère à l'échelle du globe terrestre


rappel :
. La longitude va de -180° à 180° (axe horizontal)
. La latitude va de -90° à 90° (axe vertical)

Image

. L'axe des X (l'abscisse) représente l'équateur terrestre, et celui des Y (l'ordonnée) représente le méridien de Greenwich
. La courbe en bleu représente un équateur penché à 90° selon un plan 2D, mais aussi le méridien passant par 90° sur le globe en 3D.

1.3 J'adapte l'équation pour obtenir un équateur penché à 30°


Image

. La courbe en bleu représente un équateur penché à 30° selon un plan 2D, passant par le point de croisement entre l'équateur terrestre et le méridien de Greenwich

Pour obtenir un équateur penché à 30° passant par tout les sites énoncés dans "La révélation des pyramides", il faut encore falloir ajouter un paramètre : le déphasage.

1.4 J'adapte l'équation pour obtenir un équateur penché à 30° déphasé de X' degrés

avec X' pouvant aller de -180° à +180°

Image


2) Adaptation au mieux de l'équation selon la géolocalisation des sites :


2.1 : Le plus simple va être de faire une simulation sur le logiciel EXCEL. Je tente de faire au plus simple possible

. Ouvrons une page EXCEL

Etape 1 : Transformons les coordonnées géographiques (degré-minute-seconde-centième de seconde + orientation) en coordonnées mathématiques

. Dans la cellule A1, tapons "Localisation", puis dans chaque cellules inférieure, la localisation des sites
(Je les ai cités selon l'ordre annoncé dans le film LRDP )
. Remplissons les autres colonnes (en adaptant les largeurs des colonnes) afin de renseigner les coordonnées géographiques

Rappel : les coordonnées d'un point sur le globe selon la latitude et la longitude s'exprime ainsi :

Par exemple pour la coordonnée de la tête du sphinx, pour le site de Gizeh en Egypte on a selon google earth :

Image

Latitude : 29° 58' 30,71"" N
Longitude : 31° 08' 16,09'' E

Ce qui nous donne :

Image

. Procédons ensuite à une petite retouche esthétique (insertion de lignes, encadrements, couleurs, taille de caractères...)
. Puis finissons de remplir les coordonnées des autres sites énoncés :
(le seul site non renseigné est le pays des Dogons au Mali qui est incertain car ils n'ont pas laissés de construction)

Image

2.2 Utilisons les 4 colonnes suivantes pour convertir les coordonnées géographiques en degrés décimaux

D'abord la transformation des minutes en degrés décimaux, vaut :
"degrés" + ("minutes" x 100 / 60) / 100 + ("secondes" x 100 / 60) / 10 000 + "centièmes de seconde" / 1 000 000
. Je transforme d'abord la latitude, puis la longitude (ici dans les colonnes L puis M)
(On tape la formule comme montrée dans l'image ci-dessous, puis on tire la cellule vers le bas, jusqu'au dernier site)

Image

. On calcul ensuite les coordonnées en degrés décimaux en tenant compte de l'orientation :
(nota : l'Ouest et le Sud sont négatifs, l'Est et le Nord sont positifs)
Transformons d'abord la latitude, puis la longitude (ici dans les colonnes N et P)

. En face de chaque site, tapons dans une nouvelle colonne la formule suivante : (colonne des latitudes) (ici colonne N)
=SI(F9="N";L9;SI(F9="S";L9*(-1);" - "))
Que le programme comprend comme : "Si dans la cellule F22 il y a écrit "N" alors on a comme résultat la valeur de la cellule L9, si dans la cellule F9 il y a écrit "S"alors on a comme résultat la valeur de la cellule L9 multipliée par -1, et si il n'y a écrit ni N ni S, alors aucun résultat ne sera donné"

. De même pour la colonne suivante, on a la formule : (colonne des latitudes) (ici colonne O)
=SI(K9="E";M9;SI(K9="O";M9*(-1);" - "))

Image

. On tire ensuite les cellules vers le bas ou on fait un copier-coller pour atteindre chaque sites


2.3 Calcul de la différence de latitude entre un site et l'équateur penché :

On peut traduire cela comme ça : à longitude égale, quelle distance en latitude sépare le site de l'équateur

C'est là qu'on fait le lien entre la sinusoïde de l'équateur penché et le positionnement du site

. Utilisons une case vide pour renseigner la valeur du déphasage (ici la cellule Q1) et une autre pour renseigné la valeur de l'angle que l'on attribuera à l'équateur. On pourra ainsi faire varier ces 2 paramètres

. Puis en face des sites dans la colonne "P", tapons la formule (un peu barbare avec les conversions sur Excel…)
=DEGRES(RADIANS($Q$2)*(SIN((RADIANS(O9-$Q$1))))-RADIANS(N9))
Cette formule permet de calculer l'angle verticale en degré entre le site et l'équateur penché

. Puis en face des sites dans la colonne "Q", tapons la formule de conversion des degrés en Kilomètres :
Sachant que 90° degré terrestre correspondent à 10 000 Kilomètres :
=P9*10000/90

. On peut aussi masquer les colonnes L et M pour plus de lisibilité.

Image

. On tire ensuite les cellules de calcul vers le bas pour atteindre tout les sites.

Sur l'exemple ci-dessus, on remarque qu'avec un déphasage de -60° (ou 60°00'00" Ouest), le chandelier de Paracas au Pérou se trouve à 596 Km de l'équateur penché de 30°


. On change donc le déphasage jusqu'à obtenir une valeur plus proche de 0. (par exemple avec -49 de déphasage, le chandelier n'est plus qu'à une distance verticale de 3,1 km de l'équateur penché de 30°)

. On peut aussi masquer les colonnes N et O pour plus de lisibilité.

Image

Je remarque qu'avec un déphasage de -47 les sites tous un peu plus proches en moyenne, de le l'équateur penché à 30°


2.4 On va maintenant se créer un tableau de bord pour affiner les résultats :

Image

- isolons automatiquement la différence de latitude du site se situant le plus loin au-dessous de l'équateur penché (ici cellule S3)
=MIN(Q8:Q34)

- isolons automatiquement la différence de latitude du site se situant le plus loin au-dessus de l'équateur penché : (ici cellule S4)
=MIN(Q8:Q34)

- calculons l'amplitude verticale maximum de l'équateur penché (ici cellule S5)
=S4-S3

- calculons la moyenne des amplitudes
=SOMME(Q8:Q34)/NB(Q8:Q34)

2.5 Optimisation des résultat :

. La donnée la plus importante est l'amplitude maximale de l'équateur penché.
Avec les coordonnées que j'ai a rentrée, je constate une amplitude en latitude qui est de 226,1 Km au minimum, avec un déphasage de -47,385

Image

A partir de là on peut aussi remarquer qu'avec un équateur penché à 30,28°, et avec un déphasage de -47,57° (47,57 degré Ouest), alors on obtient l'amplitude en latitude minimale, qui est de 210,66 Km.

. On peut aussi rajouter ou supprimer des lignes pour ajouter ou supprimer des sites.
Le plus simple est de sélectionner la ligne entière (en cliquant sur le numéro de ligne tout à gauche), de faire copier (Ctrl + V), puis de l'insérer au dessus de la ligne voulue (comprise dans notre cas entre la ligne 9 et la ligne 33)
Si on la collent sous la ligne 34, alors les valeurs ne seront pas prise en compte pour le calcul de l'amplitude de latitude

(dans l'exemple ci-dessous, je rajoute des nouveaux sites sous la ligne 34 pour ne pas qu'ils viennent perturber les valeurs trouvées ci-dessus dans ce que j'appelle "le tableau de bord")

Image


3) Calcul de l'amplitude minimum de l'équateur penché (et non de l'amplitude minimum verticale de l'équateur penché)


3.1 Observation

Image

La distance calculée jusque là est la "distance verticale".
Il nous faut maintenant calculer la "distance minimum"

3.2 Méthode

A partir de là je ne suis plus sûr à 100%.

Je demande aussi votre aide pour calculer la formule de la tangente à une sinusoïde à une abscisse donnée
Dès que j'ai cette info je continuerais le didacticiel

Image

La courbure ci-dessus (en bleu) est un peu abusée pour faciliter la compréhension

. Calculer la tangente à la sinusoïde passant par (X1;Y1)
. Calculer la tangente à la sinusoïde passant par (X2;Y2)
. Calculer les coordonnée du point d'intersection des 2 tangentes (X3;Y3)

Image

. Calculer l'équation de la droite passant par les 2 points (X;Y) et (X3;Y3) ---> en orange ci-dessus
. Calculer le point d'intersection entre cette dernière droite et la sinusoïde. On appelle se point : (X4;Y4)
. Calculer la distance du segment allant du point (X;Y) au point (X4;Y4)

Image

A partir de là on pourrait calculer l'amplitude minimal exact de l'équateur penché (qui sera inférieur à la valeur trouvée pour le calcul de l'amplitude verticale) et ainsi être fixé en ayant vérifié soi-même

Si vous avez des questions … ou si quelqu'un a une méthode plus simple pour la partie 3)
Amarillo Salvaje
 
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Re: Mise en équation de l'équateur penché et vérifications d

Message par Lafla » 06 Janvier 2016, 17:36

Bonjour,

Pour la dernière partie, le point M de la sinusoïde qui réalise le minimum de la distance par rapport au site S est le point en lequel la tangente à la sinusoïde est perpendiculaire à la droite (MS). Théoriquement, le mieux est de calculer le vecteur directeur de la tangente au point M(t) d'abscisse t soit (1,f '(t)) (f ' = dérivée de la fonction f) et de résoudre l'équation "produit scalaire = 0" en t soit

(x_M - x_S) + f '(t).(y_M-y_S) = (t - x_S) + f '(t).(f(t) - y_S) = 0

La solution t donne alors l'abscisse de M et il ne reste qu'à calculer la distance MS.
Euler : e^(iπ)+1=0 ; Gauss : ∫e^(-t²)dt=√π ; Stirling : (n/e)ⁿ.√2πn/n!=1+ε(n)
1 = (1/φ)² + (1/φ)³ + ... + (1/φ)ⁿ + ...
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Re: Mise en équation de l'équateur penché et vérifications d

Message par Amarillo Salvaje » 06 Janvier 2016, 20:01

Merci Lafla. (J'espérais déjà intimement ta réponse ...)

Je continuerais dès que j'aurais de nouveau un peu de temps. J'étais déjà tombé sur des formules avec des dérivés, ce qui complique la tâche avec Excel, mais je suppose que ça doit être possible. On verra ....

Merci aussi ABD. J'aurais un peu plus de mal à te répondre. C'est quand même complexe et il faudrait que je retourne "dans la matrice". Du coup j'ai fait un petit croquis :

J'ai pris exprès un point proche de l'équateur terrestre (c'est là que la distance verticale par rapport à la distance réelle, du site à l'équateur penché, est la plus défavorable)

Image

En bleu : l'équateur penché (ici représenté droit car fortement zoomé)
En rose : la diagonale du rectangle proposé par ABD
En orange : la perpendiculaire à la tangente (passant par le site et le point de la sinusoïde le plus proche du site)

On voit selon cet exemple que ce n'est pas la bonne méthode

C'est malheureusement (matheusement) plus compliqué que ça ! merci quand même pour ta contribution.
Amarillo Salvaje
 
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Re: Mise en équation de l'équateur penché et vérifications d

Message par Amarillo Salvaje » 16 Juin 2016, 00:10

J'ai remarqué avec étonnement que l'équateur penché passe aussi par ... l'intersection entre le tropique du cancer et notre méridien.

Ce qui n'est pas rien, car du coup, notre méridien de Greenwich pourrait se définir comme le méridien passant par l'intersection de l'équateur penché et du tropique du cancer.
(donc l'équateur penché passe aussi par l'intersection entre l'antiméridien et le tropique du capricorne, situé aux antipodes)

. La distance entre l'intersection "méridien - tropique du cancer - équateur penché" et l'île de pâques est de 13 000 km, un chiffre bien rond (et tombe exactement sur l'île !!!)

. La distance entre l'intersection "méridien - tropique du cancer - équateur penché" et Kadjuraho en Inde est de 8 000 km, (7 998,2)


En extrapolant les calculs :

La distance entre l'intersection "antiméridien - tropique du capricorne - équateur penché" et l'île de pâques est de 7 000 km (7 020,2 km pour être précis)

On note aussi que 7 020 / 13 000 = 0,54
(0,54000000000....), une valeur exacte.
Amarillo Salvaje
 
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Re: Mise en équation de l'équateur penché et vérifications d

Message par Numérobis » 16 Juin 2016, 10:24

Question méthode je suis dubitatif. Il me semble qu'il serait beaucoup plus simple de donner la liste des points des sites sur la carte 2D. Ces points devraient être situés ensuite sur le graphique :

Image

Ce qui donnera un bon aperçu.

A partir de là, le calcul de l'écart-type de la distance à la sinusoïde S de l'ensemble des points des n sites PS[n] pourra être théorisé et la sinusoïde la plus proche de l'ensemble des points pourra ainsi être calculée.

Toutefois le calcul direct sur la sphère de la distance d'un point d'un site PS[n], à l'équateur penché qui est un grand cercle, sera bien simple à faire.

De sorte que la projection sur la carte 2D ne se fera qu'après. A noter qu'il y a plusieurs projections 2D possibles d'une sphère, et que chacune donnera des formulations différentes des courbes trouvées, donc il faut préciser le type de projection utilisé.

Image
Projection de Peters
Numérobis
 
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Re: Mise en équation de l'équateur penché et vérifications d

Message par Amarillo Salvaje » 16 Juin 2016, 13:39

Salut Numérobis.

Au contraire je trouve que cette méthode est plus que concrète.

Numérobis a écrit :Il me semble qu'il serait beaucoup plus simple de donner la liste des points des sites sur la carte 2D. Ces points devraient être situés ensuite sur le graphique


Les images de sinusoïdes que j'ai publiées servent juste à illustrer le raisonnement étape par étape. Mon but n'étant pas de positionner les sites sur l'image (représentation visuelle) mais d'extraire les résultats mathématiques.

Dans mon exemple, je raisonne à l'envers : Je pars des mathématiques purs pour approcher la position des sites. C'est à dire une "méthode différente mais cohérente" afin de croiser les données.

Ce qui m'intéresse est surtout "l'écart maximum des sites avec l'équateur penché". Mon raisonnement permet de régler l'angle qui vaut dans notre cas 30°, et l'intersection avec l'équateur (le déphasage) mais on pourrais aussi vérifier d'autres équateurs penchés :

(exemple : Chichen Itza - Vatican - Jérusalem passant par beaucoup de sites au Mexique (Ekbalam, Chichen itza, Xtampak, Palenque...), en France (Rocamadour, Alès, Avignon, fort Buoux...), en Italie (Giglio castello, Ansédonia, Colysée, Vatican, Segni, Latium, Alatri .....), en Grèce (Kassiope, Nekromonteion, Delphe, le Parthénon d'Athène, le temple de Posséidon ....) et Jérusalem en Palestine (Bien que colonisé par Israël ...) soit environ 60 km d'écart maximum (30km au-dessus et 30km en dessous de cet équateur penché).


Il me suffit juste de renseigner les coordonnées des sites, puis de régler l'angle et le déphasage afin d'avoir "l'écart maximum entre sites réduit au minimum".

Numérobis a écrit :A partir de là, le calcul de l'écart-type de la distance à la sinusoïde S de l'ensemble des points des n sites PS[n] pourra être théorisé et la sinusoïde la plus proche de l'ensemble des points pourra ainsi être calculée.


Ma méthode permet aussi de rajouter ou d'enlever des sites sans avoir à reprendre la formule mathématique site par site.


Il faut bien comprendre le rôle de ce que j'appelle "le tableau de bord", qui permet dans un premier temps de vérifier les alignements, et dans un second temps d'optimiser (de régler) l'angle et le déphasage (en effet, un équateur penché à 30,28° est plus précis ...).

Je re-précise bien que les écarts que je calculs sont les écarts EN LATITUDE entre les sites et l'équateur penché, l'écart MINIMUM étant forcément plus précis (pas de beaucoup), mais je suis un peu bloqué car Excel ne calcul pas les dérivées ou les primitives.

Numérobis a écrit :A noter qu'il y a plusieurs projections 2D possibles d'une sphère, et que chacune donnera des formulations différentes des courbes trouvées, donc il faut préciser le type de projection utilisé.


Tout à fait. La représentation visuelle diffère en 2 dimensions (entre la représentation sur la carte de Mercator qui conserve les angles et la représentation sur la carte de Peters qui conserve les distances) mais il faut bien préciser que dans tout les cas, les distances et les angles entres sites et avec l'équateur penché ne varient pas !
C'est la représentation visuelle qui varie, pas la "substance" mathématique.

Je n'ai pas à préciser quelle projection 2D j'utilise, car ce raisonnement est en 3D. Après on peut retranscrire le résultat en 2D dans tout type de projection voulue.
Amarillo Salvaje
 
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Re: Mise en équation de l'équateur penché et vérifications d

Message par Numérobis » 16 Juin 2016, 17:21

Amarillo Salvaje a écrit :Ce qui m'intéresse est surtout "l'écart maximum des sites avec l'équateur penché". Mon raisonnement permet de régler l'angle qui vaut dans notre cas 30°, et l'intersection avec l'équateur (le déphasage) mais on pourrais aussi vérifier d'autres équateurs penchés


Mais si on veut trouver la distance entre les sites et l'équateur penché EP1, il s'agit de faire une translation des pôles, ce qui fait basculer l'équateur et le méridien de Greenwich MG1 sur la sphère et réalise un changement de coordonnées. On calcule alors les coordonnées sphériques dans S2 connaissant celles (standards) dans S1, PS1(lattitude1, longitude1) => PS2(lattitude2, longitude2).

Dans S2 la distance sera donc aussi très facile à calculer, puisqu'on connaîtra immédiatement l'angle du site entre l'équateur basculé et le méridien de Greenwich basculé (EP2,MG2), et PS2.

Ce qui ne semble pas demander de gros calculs. Il me semble qu'il y a bien trop de calculs dans cette approche, c'est cela qui me laisse dubitatif. La projection en 2D ensuite est superflue.

Normalement la seule liste des coordonnées PS1, la fonction de transformation PS1=>PS2, les distances à EP2 + éventuellement l'écart-type des distances doit suffire à clore l'étude en 4 colonnes de tableur, pas plus.
Numérobis
 
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Re: Mise en équation de l'équateur penché et vérifications d

Message par Amarillo Salvaje » 16 Juin 2016, 18:28

mmmh, en 4 ligne pas plus ???

Donc il te sera facile de me faire la démonstration ?

Pour info j'ai quand-même potassé le sujet pas mal de temps, et la méthode présentée me paraît la plus simple (j'aurais aussi pu utiliser cosinus ...)

Je ne perçois pas bien pourquoi tu voudrais faire une translation des pôles. Quel que soit l'inclinaison d'un "équateur penché" à X degrés, les pôles Nord et Sud (géographique) reste les mêmes non ?
Et les coordonnées des sites aussi.

En tout cas merci pour tes critiques constructives. Ca me force à expliquer la chose, même si ce n'est pas évident. (... et si j'ai fais une erreur je serais ravi de la corriger, et surtout je serais ravi de mieux comprendre)

Je vais essayer de mieux expliquer ma démarche (simplement) :

--> mon but et de n'avoir que 3 données :
- les coordonnées de chaque site
- le degré d'inclinaison de l'équateur penché
- le déphasage (plus délicat à assimiler)

Après, tout se fait tout seul. (écart maximum entre site, écart moyen ...)

Si tu as une approche avec moins de calculs, je suis vraiment preneur ! (mais aussi dubitatif j'avoue)

Si ça t'intéresse, envoi moi un message en privé et je te fournis le document excel.

Cordialement, -
Amarillo Salvaje
 
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Re: Mise en équation de l'équateur penché et vérifications d

Message par Numérobis » 16 Juin 2016, 19:46

Amarillo Salvaje a écrit :Donc il te sera facile de me faire la démonstration ?


Oui. Il me serait facile de la faire.

Amarillo Salvaje a écrit :Je ne perçois pas bien pourquoi tu voudrais faire une translation des pôles. Quel que soit l'inclinaison d'un "équateur penché" à X degrés, les pôles Nord et Sud (géographique) reste les mêmes non ?


Non, il s'agit d'un changement de coordonnées = changement de l'origine justement.

Amarillo Salvaje a écrit :Et les coordonnées des sites aussi.


Non.
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Re: Mise en équation de l'équateur penché et vérifications d

Message par Jcpo » 16 Juin 2016, 20:54

Pour changer l'origine il faut déterminer la nouvelle hors c'est bien là le problème. Ou situer le pole de l'équateur penché ? L'approche par le tracé me parait plus hasardeuse que celle par coordonnées car les cartes subissent des transformations, elles sont des modèles géométriques alors que la terre n'est pas une sphère, ni une sphère aplatie... En revanche il faut des coordonnées précises, non pas déterminées via Google Earth par exemple. D'ailleurs j'ai remarqué sur ce logiciel qu'en plus de ne pas tracer de cercles précis (très petit nombre de points à la circonférence par rapport à l'échelle) les distances au centre de points du cercle, l'un plutôt polaire et l'autre plutôt équatorial, ne sont pas égales.
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