3,1415926535867932384 etc… de J. Grimault (23/08/14)

3,1415926535867932384 etc… de J. Grimault (23/08/14)

Message par Jcpo » 02 Septembre 2014, 00:24

3,1415926535867932384 etc…
par Jacques Grimault



Le nombre qui relie le diamètre d'un cercle au périmètre de ce cercle est irrationnel, c'est-à-dire que son développement est infini et non périodique.
Il est aussi transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est pas la racine d'un polynôme à coefficient entier…
On ne peut donc le chiffrer entièrement, quel que soit le moyen employé. Ce pseudo-nombre est cependant connu de tous sous le nom de Pi, et nous démontrerons dans le prochain opus, qu’il est parfaitement structuré et, conséquemment, qu’on pourra le déchiffrer, et de plusieurs manières…

Avant cela, faisons un petit tour en sa compagnie…
Il y a environ 5 000 ans, les Babyloniens, se servaient de la valeur 3 + 1/8 pour estimer le rapport par lequel multiplier un diamètre pour obtenir le périmètre du cercle correspondant.
Les Hindous utilisaient généralement 3,0625 comme multiplicateur du diamètre, alors que les Chinois se servaient plutôt du rapport 22/7.
Le papyrus Rhindt, découvert en 1855 en Egypte, et daté des environs de 1800 avant notre ère, fait état de deux fractions. La première est 2 + 8/7, ce qui donne un résultat numérique équivalent à 3,142857143, ce qui n'est déjà pas si mal, et la seconde, 377 / 120, dont le résultat donne une très bonne approximation du rapport périmètre/diamètre ; 3,141666667. Encore ne devait-il servir qu'aux opérations d'arpentage et n'être enseigné - par conséquent -, non pas aux savants, mais à des personnes de moindre instruction.
On fait fréquemment référence à un passage de l'Ancien Testament (Livre des Rois, VII, 23), susceptible - dit-on généralement - de donner l'indication du rapport du diamètre au périmètre tel que le connaissaient les Hébreux : « Il fit la mer d'airain fondu. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, elle était entièrement ronde ; sa hauteur était de cinq coudées, et un cordon de trente coudées mesurait sa circonférence », après lequel on s'empresse de dire que les Hébreux estimaient ce rapport égal à 3.
Le Grec Archimède, le premier - selon les historiens des sciences - à proposer une recherche de ce rapport par le raisonnement pur, s'engage par la méthode de calcul des différences entre des polygones réguliers inscrits et exinscrits au cercle : pour un hexagone, par exemple, on trouve la valeur 3,2106, ce qui est assez grossier.
Le célèbre géographe, astronome, et mathématicien Claude Ptolémée d'Alexandrie, vers l'an 100 après J.C, se servira du rapport 22/7ème, déjà aperçu plus haut… mais chez les Chinois.
Mais la culture périclite, et Pierre Metius, plus de 10 siècles après, propose la fraction 355/112, ce qui, en matière de précision et de simplicité, est de loin inférieur à la fraction égyptienne, celle-ci valant 3,169642857 et celle-là 3,141666667…
Le Français François Viète (1540-1603), à qui l'on doit les signes modernes des quatre opérations, calcule à son tour, d'après la méthode d'Aristote, la moyenne entre deux polygones - inscrit et exinscrit - à 393 216 côtés, ce qui lui donna le chiffre de 3,141592653…

En 1596, le mathématicien Allemand Ludolff von Ceulen va plus loin et calcule les 20 premières décimales de ce nombre, puis en propose 34 en 1609 (les Allemands appellent parfois Pi ‘le nombre de von Ceulen’).
La méthode d'Aristote cède la place au calcul différentiel et intégral, pour plus d'efficacité…
En 1706, William Jones propose de baptiser le nombre exprimant le rapport de tout périmètre de cercle à son diamètre du nom de Pi, première lettre du mot grec périmetron, qui signifie périmètre.
Le mathématicien français Jean-Henri Lambert, en 1768, démontre que Pi est irrationnel, ce que confirme son compatriote Liouville, par une autre méthode.
L'Allemand Ferdinand von Lindemann montre, en 1882, que Piest non algébrique, et par conséquent transcendant.
En 1937, à l'occasion de l'Exposition Internationale qui se tenait à Paris, on avait imaginé une salle ronde consacré à ce nombre Pi, et quelques centaines de décimales y furent peintes : hélas, le mathématicien qui avait calculé ce nombre jusqu'à la 707ème décimale, en 1874, l'Anglais Shanks, s'était trompé à hauteur de la 528ème position, et cette erreur figure encore de nos jours au fameux mur. Pour l'anecdote, racontons que ce chiffre avait été contesté largement avant 1937 par le mathématicien Ferguson, compatriote de Shanks, qui en 1846 avait détecté une erreur à la 52ème décimale…
En 1950, la première machine à calculer électronique entre en lice : elle fournit 2000 décimales de Pien 24 heures de calcul.
En 1985, à l'aide d'un ordinateur et d'une formule fournie en 1913 par le mathématicien autodidacte Indien Srinivasa Ramanujan, Gosper calcule Pi jusqu'à 17 millions de décimales après la virgule.
Le frères Chudnovsky, en 1994, et de manière quasi artisanale (sur l'ordinateur de leur domicile), ont quant à eux obtenu 4 milliards de décimales.
En 1996, les Américains David Bailey et Simon Pouffe ont mis au point un algorithme susceptible d'indiquer la valeur du nombre selon son rang dans la suite des décimales de Piénoncées en mode binaire…

Du point de vue pratique et mnémotechnique, maintenant, il nous faut préciser qu'il existe quelques méthodes simples, ingénieuses, et accessibles à tout un chacun : il suffit, le plus souvent, d'apprendre trois ou quatre vers dont les mots sont constitué du nombre de lettres à retenir : voici une mini poésie à la française, assez connue.

« Que j’aime à faire connaître un nombre utile aux sages,
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5
Immortel Archimède, artiste ingénieux,
8 9 7 9
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
3 2 3 8 4 6 2 6
Pour moi, ton problème eut de féconds avantages… »
4 3 3 8 3 2 7 9

Ce qui reste en effet le moyen le plus sûr de retenir : 3,141592653589793238462643383279
Mais peut-être préférerez vous la version allemande de ce procédé… plus courte de 7 chiffres, la voici :

"Wie, o dies
3 1 4 1
Macht ernstlich so vielen viele Müh’ !
5 9 2 6 5 3
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein
5 8 9 7 9
Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein !"
3 2 3 8 3 6 2 6 4

Il existe bien sûr d'autres méthodes et d'autres procédés pour retenir ce nombre ; l'abbé Moigno, par exemple, en avait donné un très fiable pour mémoriser les soixante premières décimales de Pi, ce qui est déjà très impressionnant, et peut laisser croire à une mémoire prodigieuse. Cependant, à côté des athlètes de la mémoire, 60 décimales, ce n'est quasiment rien : pour ceux qui se sont mesurés à Pi, les performances dans ce domaine laissent la bouche bée : en 1979, le Japonais Tomoyori récite sans erreur les 15 151 premiers chiffres de Pi ; en 1995, H. Goto en donne, toujours de mémoire, les 42 000 premiers, évidemment là aussi sans faute. Il nous reste à dire que l'on peut écrire Pi ou ses variantes et fractions de nombreuses façons, plus ou moins décelables et lisibles :
Pi / 4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 etc.
Pi² / 6 = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 etc.
Nous avons nous-mêmes trouvé quelques manières fantaisistes de présenter ou, plus exactement, la figure de Pi : celle-ci est l'une des plus singulières.
1 x 2 x 3 x 4 x 7 x 11 x 17 = 31416
que nous accompagnons toujours de cette variante moins précise, mais curieuse si l’on compare les chiffres mis en jeu ci-après et ceux de la précédente proposition :
(1 x 2) + (3 x 4) + (7 x 11) + 17 = 314

Cette petite promenade avec Pi aurait pu se prolonger, notamment en visionnant le film de Darren Aronofski, prosaïquement intitulé… "Pi", ou avec "l’Odyssée de Pi", de Ang Li et d’après le livre de Yann Martel, traduit en 42 langues à ce jour... Mais nous conclurons brièvement, en rappelant que Pi/1,2 = Phi²… Pas mal, pour des constantes irrationnelles ! Cette belle curiosité apparaissant plusieurs dizaines de fois dans les pyramides d’Egypte, et donc, dans LRDP…
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Message par Jcpo » 02 Septembre 2014, 00:31

Voici un sujet tout neuf pour parler de PI, de sa transcendance, de ses relations etc...

J'essaierai de reporter ici tout les éléments intéressant qui étaient présent dans l'ancien sujet.
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Message par Jcpo » 02 Septembre 2014, 01:05

i désigne la partie Imaginaire d'un nombre Irréel ou Complexe (même chose mais terminologie différente), faudrait que je ressorte mes cours de Lycée pour t'expliquer mais pour t'aiguiller voilà le wikiservice :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe

Tous les nombres sont des nombres complexes :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_nombres
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Message par thierry632 » 02 Septembre 2014, 07:06

Tous les nombres réels sont des nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.
x = a + i b, avec i² = -1 (vectorisation du plan complexe par la base (1,i) orthonormée)
Si l'on factorise le module de x soit √(a² + b²) , on obtient l'expression angulaire de tout nombre complexe.
cos α = a/√(a² + b²) et sin α = b/√(a² + b²), base de la trigonométrie: cos² α + sin² α = 1
On a donc:
x = (module de x) ( cos α + i sin α) avec α exprimé en radians.
La relation avec e à la puissance iα découle de la décomposition similaire en série de celle des fonctions sinus et cosinus
On attribue à Euler, auteur de cette relation mathématique, la preuve de l'existence de Dieu de par ses convictions personnelles.
Ceci est totalement spéculatif et ne concerne pas son domaine de prédilection, à savoir les Mathématiques.
Ceci expose des relations mathématiques démontrées et démontrables, en aucun cas des approximations nulles et non avenues.
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Message par thierry632 » 02 Septembre 2014, 07:22

Un site fort bien documenté sur π
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiPropri.htm
Une des dernières formulations mathématiques sur le calcul de π: La formule BBP (Bailey-Borwein-Plouffe)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_BBP

Qui poursuivra vers le concept de nombre univers, trouvera sans aucun doute les sujets suivants:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_du_singe_savant
et
http://fr.wikipedia.org/wiki/La_Biblioth%C3%A8que_de_Babel
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Message par Grisnoire » 02 Septembre 2014, 09:59

"i" est un nombre imaginaire. Comme expliqué par Thierry, il est définit comme étant: i²=-1.

Très utile en mathématique et plus précisément en géométrie, car il permet de transformer en équations le plan et ses transformations (un point de coordonnées (x,y) sera décrit comme z = x+i*y). On le trouve en physique notamment chez les ondes.

Il existe également une représentation de l'espace en équation via ce qu'on appelle les quaternions, mais je ne connais pas très bien leurs fonctionnements.
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Message par thierry632 » 02 Septembre 2014, 12:35

Einstein s'est fortement inspiré des travaux effectués sur le corps ℍ des quaternions ...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion
Tout en le particularisant, ce qui discrédite et amène les physiciens à réexaminer de nos jours sa théorie de la relativité, théorie restant perfectible.
http://cosmoquest.org/forum/showthread.php?73589-Quaternion-Relativity-Theory
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Message par theophil » 02 Septembre 2014, 19:40

Petit ajout - la fameuse relation : exp(i*pi) = -1
Qui lie e, pi et i !
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Message par thierry632 » 02 Septembre 2014, 19:57

C'était dans le post d'origine non rapatrié en légende de la figure:

En remplaçant l'angle quelconque par π: e (base du logarithme népérien, un autre transcendant ...) à la puissance (i π) = -1
Pour mémo:
Euler démontre que e est irrationnel, donc que son développement décimal n'est pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales.
Il explicite pour cela son développement en fraction continue.
En 1873, soit plus d'un siècle plus tard, Charles Hermite montre que le nombre e est même transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers.
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Re: Article du 23/08 3,1415926535867932384 etc… par Jacques

Message par thierry632 » 03 Septembre 2014, 10:15

Bonjour
Comme le post de notre "ami" Grisnoire sur les probabilités a disparu, je le reformule:
(un dernier réédit de ce post pour y ajouter les guillemets ;) et une correction dans l'énoncé ...)

On recherche les nombres sur 3 chiffres pouvant indiquer leur position au sein des 1000 premières positions décimales.
Ces 1000 positions décimales permettent de créer 998 triplets de 3 positions décimales successives. (998 tirages)
(les triplets significatifs, étant de 003 à 999, sont au nombre de 997)

Soit la probalité de tirage de 3 valeurs successives de 0 à 9:
P(A) = 1/10 * 1/10 * 1/10 soit P(A) = 1/1000

Probabilité que le tirage ne soit pas bien positionné: P(non A)
P(non A) = 999/1000

Probalité que A soit fausse sur 998 itérations (tirages):
(999/1000)^998 = 0.3684 ...

Probalité que A soit vrai au moins une fois sur 998 itérations:
1 - 0.3684 ... = 0,6315 ...

On a donc 63,15% d'obtenir un nombre sur 3 positions décimales à la bonne position.
(résultat précédant majoré par les nombres: 003...., .004...., ..005... etc)

Maintenant, π n'est pas reconnu comme étant un nombre normal dans l'acception mathématique du terme.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_normal
J'attends cependant de découvrir ce que Monsieur Grimault dénomme le déchiffrage de π.

Je réédite ce post, qui a le mérite d'être à sa place dans le topic: Géométrie et mathématiques, pour préciser ceci:

Pourquoi utiliser P(A) = 1/1000 alors que l'on recherche la position d'un nombre sur 3 chiffres indiquant sa position ?
1 chance sur 1000 pour obtenir un triplet.
997/1000 chances pour obtenir un triplet susceptible de mentionner une position
(997/100) * (1/997) chance pour que le triplet obtenu soit à la bonne position.
Donc, P(A) = 1/1000 est la bonne probabilité à utiliser, fin de l'apparté.
Dernière édition par thierry632 le 04 Septembre 2014, 01:22, édité 3 fois.
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